Esta é uma demonstração algébrica para a equação do segundo grau. De fato, esta equação costuma ser simplesmente apresentada assim: dados os números reais $a, b, c$, com $a \neq 0$ então as soluções reais da equação $ax^2 + bx + c = 0$ serão dadas por:
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
onde o sinal $\pm$ irá significar que uma solução será obtida com o sinal de $+$ e a outra com o sinal de $-$ .
Note como certas coias em Matemática são intuitivas: caso a expressão ${b^2 - 4ac}$ seja igual a zero, então não haverá distinção entre adicionar ou subtrair zero, logo, a equação terá apenas uma solução.
Por outro lado, a expressão $b^2 - 4ac$ pode ser negativa, e as raízes quadradas somente estão definidas, no universo dos números reais, para números positivos. Concluímos, então, que, caso $b^2 - 4ac < 0$ então a equação não terá raiz real.
Isto não é lógico?
O valor $b^2 - 4ac$ é representado pela letra $\Delta$ (delta), assim, dizemos que $\Delta = b^2 - 4ac$.
Mas, podemos deduzir esta fórmula? Claro que sim! Veja só:
Temos de encontrar o valor de $x$ na expressão
$$ax^2 + bx + c = 0$$
Para solucionar esta questão, o que fazermos é ajustar esta expressão a uma outra conhecida:
$$(x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$$
Acompanhe a manipulação algébrica:
Inicialmente, temos de nos livrar do $a$, e, como $a \neq 0$, o que fazemos é dividir toda a equação por $a$. Obtemos uma equação ajustada que fica assim:
$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$$
Agora, temos de fazer $\dfrac{b}{a}x$ ficar parecido com $2kx$ da equação (1). O que fazemos? Multiplicamos esta fração por $1 = \dfrac{2}{2}$, e temos:
$\dfrac{b}{a}x = 2\cdot \dfrac{b}{2a}x$
Agora, no velho estilo cara-crachá, podemos dizer que o nosso $k$ será $k = \dfrac{b}{2a}$.
Note que estamos manipulando as coisas. A estratégia secreta é transformar $x^2 + 2kx$ em $(x + k)^2 $. A vantagem? a vantagem é poder isolar o $(x + k)^2$, depois encontrar $(x + k)$ e, finalmente, encontrar o $x$ da questão!
Agora, fazendo $k = \dfrac{b}{2a}$, vamos desenvolver
$$(x + k)^2$$
ou seja, vamos fazer
$$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2$$
Teremos então:
$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2 + 2 \cdot \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}$
Entretanto, nossa equação original ajustada é:
$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$$
e não podemos alterá-la. Com isto em mente, podemos reescrevê-la assim:
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = x^2 + 2\cdot \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{c}{a} +\left(\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2}\right) $
Ingenuamente, estamos apenas adicionando zero! Mas, de fato, estamos comparando as equações para termos $\dfrac{b^2}{4a^2}$ no final.
Agora, podemos rearrumar as coisas assim:
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = x^2 + 2 \cdot \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{4a^2}$
Já podemos fazer a seguinte substituição:
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{4a^2}$
ou seja,
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac}{4a^2 } - \dfrac{b^2}{4a^2} = 0$
Arrematando...
$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac}{4a^2 } - \dfrac{b^2}{4a^2} = 0 \Rightarrow \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Olha só quem apareceu? o nosso amigo $\Delta = b^2 - 4ac$. Continuando...
$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$
$x = -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Aqui temos um detalhe: $\sqrt{4a^2} = 2|a|$, entretanto, como estamos considerando os dois sinais da fração, via $\pm$, podemos nos dar ao luxo de escrevermos $2a$. Assim, desembarcamos na famosa fórmula:
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
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